Matematica de clasa a cincea și la ce-i bună

Pe Facebook mi-a fost dat să văd următoarea postare:

Pentru duminică, culegere mate, clasa a V a:

Determinați ultima cifră nenulă a produsului p=5(la puterea 48) • 2(la puterea 44) •3(la puterea 17).
Fără google, da? Poftiți! Mersi.

Mulți, mulți oameni s-au chinuit la ea sau au declarat-o imposibilă. Na, comentarii:

  • „F util pentru viata”
  • Daca vrei sa faci copilul astonaut! Ia si calculeaza!”
  • „Nici macar nu imi bat capul! Sa intrebi profesorul aplicabilitatea in viata reala a acestui calcul, la varsta de 11 ani! Si pe urma calculam!”
  • Pai:
    5 la orice putere are ultima cifra 5
    2 are ultima cifra 2, 4, 8, 6 si ciclam… deci 6 este ultima cifra
    3 are ultima cifra 3, 9, 7, 1 si ciclam…. deci 3 este ultima cifra

    Inmultite dau: 0 ultima cifra. Am gresit pe undeva?”

  • „păi da, dar mai contează şi cifrele de dinainte de ultima cifră. de exemplu 25 x 16 x 3 = 1200. nu mereu doar ultima cifră dă rezultatul final al înmulţirii.”
  • „Chiar dacă îi voi contrazice pe unii din ante-postatorii mei, lucrurile sunt chiar mai simple: nici nu există vreun rezultat cu ultima cifră 5, atâta timp cât: 5 la orice putere nenulă este un număr care se termină cu 5; 2 la orice putere nenulă este număr cu terminație pară (în ordine 2,4,8 sau 6); 3 la orice putere nenulă este număr cu terminație impară (în ordine 3,9,7, sau 1). Așadar înmulțirea numărului 2 la putere cu numărul 3 la putere duce la un rezultat cu terminație pară, care înmulțit cu 5 se termină cu 0 (zero). Deci ultima cifră nenulă a rezultatului nu este în niciun caz cifra unităților, ci a zecilor! Acum să vă văd! (PS: sunt medic, sper că nu am greșit! Nu mă înjurați! Mai ales că și cu cifra zecilor se petrece la fel!)”

Acuma, hai să vă explic problema. Ultima cifră nenulă este ultima cifră care nu e zero. N-are nivio legătură cu cifra zecilor sau a sutelor, cum crede medicul din comentarii, ci este ultima cifră dinainte de zerouri. Dacă rezultatul ar fi 9000, ar fi vorba de 9, dacă ar fi 91.000, ar fi vorba de 1.

Deci. (5^48)*(2^44)*(3^17). Iei primele puterile lui 5 și 2, le înmulțești între ele și îți dă așa: (5^4)*(5^44)*(2^44)*(3^17) = (5^4)*(3^17)*(10^44). 10^44 e 1 urmat de o groază de 0-uri, îl ignorăm. Ne interesează ultima cifră a înmulțirii lui 5-la-a-4-a cu 3-la-a-17-a. 5 înmulțit cu un număr impar dă ultima cifră 5, iar o grămadă de 3-uri înmulțite între ele dau un număr impar (pentru că nu se înmulțesc cu doi), deci cifra pe care o căutăm e 5.

Nu e prea greu pentru un copil de a 5-a?

În primul rând, nu e prea greu pentru copii de a 5-a pentru că ei mănâncă matematica asta pe pâine la școală. Și dacă nu pricep exercițiul în prima temă în care le pică, o să-l priceapă la școală când li se explică. Pentru că exercițiile astea nu apar în vid, sunt legate de lecții, iar la lecții se bate apa în piuă cu exerciții standard.

Așa că, atunci când se fac puterile, se fac și tone de exerciții în care se înmulțesc și se împart numere la puteri foarte mari, tocmai ca să le fie imposibil să calculeze de mână rezultatele cu pixul.

În timp, trucurile astea se uită, de-aia uneori problemele de matematică par de chineză dacă nu mai știi să le rezolvi.

Dar la ce sunt bune calculele astea în viață?!?!? Când o să-ți trebuiască ultima cifră nenulă a unui număr îngrozitor de mare?!?!?!

Probabil că niciodată. Dar nu despre asta e vorba, ci despre gândirea logică. Ți se pun la îndemână niște instrumente relativ simple, cu care trebuie să rezolvi o problemă altfel îngrozitor de complicată.

Toată matematica din școală e de fapt un exercițiu de simplificare. Te învață să vezi forme abstracte și să le folosești ca să-ți faci viața mai ușoară. Te învață să n-alegi calea grea decât dacă e absolut necesar. Te învață să folosești punctele comune ale unor lucruri/situații date ca să poți să rezolvi problema pe care o ai în față. Te învață să deduci tipare, să prevezi care e rezultatul unei operațiuni repetate, să înțelegi ce se întâmplă în extremă cu situația pe care o ai în față.

Sigur, matematica e plină de variabile și formule pe care doar inginerii și alți matefili le folosesc în viața reală, dar modelele de gândire rămân valabile: identifică situația, dacă e complicată redu-o la componentele de bază, rezolv-o mai simplu.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *